Задачи на построение и окружность

Программа курса

Урок 1. 

Это вводный урок. На нем мы обсудим важность и значимость задач на построение, идею формирования и примерный план всего курса. Затем мы перейдем к основной сути этих задач и их составляющим, обсудим инструменты, используемые при их решении, – циркуль и линейка. После перейдем к этапам и методам решения, перечислим «базовые» задачи на построение, которые традиционно берем в более сложных задачах, как понятную и известную основу. Завершим урок 1 рассмотрением сути метода ГМТ и трех основных ГМТ, тоже берущимся впоследствии за некую основу.

Урок 2.

Здесь мы плавно продолжим начатый разговор о методе ГМТ. Затем, используя аксиоматику геометрии и метод ГМТ, поэтапно и подробно расскажем о решении некоторых базовых задач, перечисленных на первом уроке: 1. отложить отрезок, равный данному, на данном луче; 2. отложить угол, равный данному, в данную полуплоскость; 3. построить серединный перпендикуляр к отрезку; 4. построить прямоугольный треугольник по катету и острому углу.

Урок 3. 

Этот урок полностью посвящен взаимодействию задач на построение с окружностью. Тема «Окружность» и все, что с ней связано, обычно непросто дается детям. Видимо, отчасти оттого, что наш мир довольно линеен и угловат, на поверхностный взгляд. Окружностям в нем мало места. Поэтому мы начнем с задачи «Построить окружность по трем точкам», неожиданной для многих ребят. Свяжем окружность с треугольником, вспомним вписанную и описанную окружности. И естественным образом перейдем ко второй задаче: «Построить касательную к окружности с данным центром данного радиуса, проходящую через данную точку».

Урок 4. 

На этом уроке будут рассмотрены три задачи, решаемые, в том числе, при помощи тех самых «базовых» задач, о которых шла речь на Уроках 1 и 2. И первая из них является, в некотором роде, обратной к задаче, решенной на уроке 4: «Постройте окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой в данной точке». Такое рассмотрение одних и тех же объектов с разных сторон помогает уйти от слепого заучивания к пониманию истинной природы изучаемых объектов и их взаимосвязей. Вторая задача обманчиво звучит похоже, однако предполагает совсем другие идеи. Здесь напрямую реализуется подход, описанный в курсе «Мы ТАК учим». И третья задача для ребят совсем уж внезапна. Она начинается со слов «На плоскости дана окружность, центр которой неизвестен…». Как так, неизвестен? Как же быть? Искать. Нет безвыходных ситуаций, и мы это увидим в решении третьей задачи.

Урок 5. 

На прошлых уроках была проведена большая подготовительная работа, и теперь мы можем перейти к рассмотрению более сложных закономерностей и задействовать более широкую теоретическую базу. Здесь будут обсуждаться две задачи. Первая достаточно простая, но не совсем привычная своей формулировкой, больно уж много там различных вводных. И поэтому ставящая детей в тупик. Зато появляется хороший повод обсудить с ребятами цепочки ассоциаций, возникающие при анализе задачи, и соответствующую им теоретическую базу. И вторая задача вновь адресует нас к вписанной и описанной окружностям треугольника.

Урок 6. 

Если до этого мы обсуждали взаимодействие окружности с другими геометрическими объектами, то здесь посмотрим на взаимное положение двух окружностей. Вспомним внутреннее и внешнее касание. И, самое главное, проведем параллель между задачей на построение и расчетной задачей, возвращаясь к идее о важности и полезности задач на построение. Мы увидим, как осмысленное построение общей внешней касательной к двум касающимся друг друга окружностям помогает как бы «изнутри» понять, как же найти длину отрезка этой общей касательной. Откуда там берется прямоугольник, или прямоугольный треугольник. Почему возникает разность радиусов, и так далее. Расчетная задача перестает быть технической, формульной. И становится эстетической.

Урок 7. 

Это последний урок курса, на котором мы, в некотором роде, подведем итоги. И сделаем это первыми двумя задачами, продолжающими линейку взаимодействий окружностей друг с другом и общими касательными. Вспомним еще раз, как сравнение расстояния между центрами с суммой или разностью радиусов может дать нам полезную информацию о взаимном положении этих окружностей. Как это может помочь в построении и понимании свойств объектов. Увидим, как та же самая сумма или разность радиусов внезапно может дать длину катета прямоугольного треугольника. И, наконец, в Задачах 3 и 4 впервые появляется взаимодействие окружностей с четырехугольниками, как иллюстрация известных теорем о возможности вписать и описать около четырехугольника окружность. Эти две последние задачи курса адресуют нас к мысленному продолжению работы с построением циркулем и линейкой, как помощником в любом разделе геометрии.

Введение в курс

Преподаватели