<div class="xblock xblock-public_view xblock-public_view-vertical" data-course-id="course-v1:fis+F05+1" data-init="VerticalStudentView" data-runtime-class="LmsRuntime" data-runtime-version="1" data-block-type="vertical" data-usage-id="block-v1:fis+F05+1+type@vertical+block@7633904736c0484eb94ec5eff03ba92e" data-request-token="b78c3384ff0511eea15e972eda219898" data-graded="False" data-has-score="False">
<div class="vert-mod">
<div class="vert vert-0" data-id="block-v1:fis+F05+1+type@html+block@eefeb307c19b4d12b5ba4ab2620a01d6">
<div class="xblock xblock-public_view xblock-public_view-html xmodule_display xmodule_HtmlBlock" data-course-id="course-v1:fis+F05+1" data-init="XBlockToXModuleShim" data-runtime-class="LmsRuntime" data-runtime-version="1" data-block-type="html" data-usage-id="block-v1:fis+F05+1+type@html+block@eefeb307c19b4d12b5ba4ab2620a01d6" data-request-token="b78c3384ff0511eea15e972eda219898" data-graded="False" data-has-score="False">
<script type="json/xblock-args" class="xblock-json-init-args">
{"xmodule-type": "HTMLModule"}
</script>
<p class="MsoNormal" style="margin-top: 6.0pt; text-align: justify;"><span style="font-family: georgia, palatino; color: #000000;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">Случайные ошибки. </b>Уже говорилось, что наилучший способ оценить достоверность эксперимента – это повторить его несколько раз и сравнить полученные результаты. Вспомним про известную задачу «измерить высоту здания школы<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>с помощью секундомера и вольтметра». Для этого решим вспомогательную задачу «определить время падения<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>стального шарика (вольтметра, портфеля и пр.) с четвертого этажа на третий». Однократное измерение<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>с помощью секундомера дает значение <i style="mso-bidi-font-style: normal;">х<sub>1</sub></i>. Если сбросить шарик 10 раз и измерить время падения одним и тем же человеком с помощью одного и того же секундомера, получится набор из десяти различных величин <i style="mso-bidi-font-style: normal;">х<sub>1</sub>, х<sub>2</sub>, …, х<sub>10</sub></i><sub>.<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></sub>Дрогнула рука, отпускающая шарик в полет,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>пуск и остановка секундомера происходят с<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>субъективными погрешностями – все это вызывает случайный разброс результатов эксперимента. <sub><o:p></o:p></sub></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: georgia, palatino; color: #000000;">Чтобы получить наилучшее значение из десяти, надо найти <i style="mso-bidi-font-style: normal;">среднее арифметическое \(\overline {x} = \frac {\displaystyle\sum_{i=1}^{10} x_i}{10}\).</i></span><o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: georgia, palatino; color: #000000;">Какова ошибка в полученной величине среднего времени падения?</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: georgia, palatino; color: #000000;">Найдем <i>отклонение результатов от среднего</i>. Отклонение первого времени от среднего значения <span style="position: relative; top: 5.0pt; mso-text-raise: -5.0pt;"><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter"> <v:formulas> <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"> <v:f eqn="sum @0 1 0"> <v:f eqn="sum 0 0 @1"> <v:f eqn="prod @2 1 2"> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"> <v:f eqn="sum @0 0 1"> <v:f eqn="prod @6 1 2"> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"> <v:f eqn="sum @8 21600 0"> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"> <v:f eqn="sum @10 21600 0"> </v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas> <v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"> <o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"> </o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style="width: 60.75pt; height: 18.75pt;" o:ole=""> <v:imagedata src="file:///C:/Users/1166~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""> </v:imagedata></v:shape></span>. Таким образом, у нас получается набор из десяти чисел ∆х<sub>1, </sub>∆х<sub>2,</sub> ….∆х<sub>10</sub>. Эти числа разного знака, так как измеренные величины могут быть больше наилучшего значения или меньше его. Если теперь найти среднее отклонение, то получится ноль, а это нам не интересно. <i>Стандартным или среднеквадратичным отклонением</i> называется число \(\sigma_{x} = \sqrt {\frac {\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline {x})^2} {n}}\), где <span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">n</span> – в нашем случае равно 10. Величина \(\sigma_{x}^2 \) называется <i style="mso-bidi-font-style: normal;">дисперсией измерений</i>.<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Смысл этой величины – среднее значение квадрата отклонений результатов измерения от среднего.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: georgia, palatino; color: #000000;"><span style="font-size: 12pt;">Вводится еще одна величина, называемая <i>стандартной (среднеквадратичной) погрешностью среднего арифметического </i></span>\(\sigma = \frac {\sigma_{x}} {\sqrt {n}} \).</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: georgia, palatino; color: #000000;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;">Среднеквадратичная погрешность среднего арифметического<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>равна среднеквадратичной погрешности отдельного результата, деленной на корень квадратный из числа измерений. </i>Это нужно пояснить. <i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></i>Рассмотрим, как ведет себя отклонение среднего значения <span style="mso-spacerun: yes;">\(\overline {x} \) </span>от истинного. Проделаем несколько серий одинаковых экспериментов по <span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">N</span><span lang="EN-US"> </span>измерений и вычислим в каждой серии среднее значение. Средние значения будут отличаться друг от друга, но разброс их будет гораздо меньше, чем разброс результатов отдельных измерений. Чем больше измерений сделано в отдельной серии, тем меньше разброс средних значений. Поэтому с увеличением числа измерений среднее значение точнее соответствует истинному. Отсюда и берется <i style="mso-bidi-font-style: normal;">среднеквадратичная погрешность среднего арифметического.</i></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: georgia, palatino; color: #000000;">Надо отметить, что существует другой способ расчета среднеквадратичного отклонения, при котором в знаменателе </span><span style="color: #000000; font-family: georgia, palatino;">\(\sigma = \frac {\sigma_{x}} {\sqrt {n}} \)</span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="color: #000000; font-family: georgia, palatino; font-size: 1em;">вместо</span><i style="mso-bidi-font-style: normal;"> </i><span style="color: #000000; font-family: georgia, palatino;">\(n \)</span><span lang="EN-US" style="color: #000000; font-family: georgia, palatino; font-size: 1em;"> </span><span style="color: #000000; font-family: georgia, palatino; font-size: 1em;">стоит</span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="color: #000000; font-family: georgia, palatino;">\(n-1 \)</span><i style="mso-bidi-font-style: normal;">. </i><span style="color: #000000; font-family: georgia, palatino; font-size: 1em;">Эта методика приводит к несколько большим значениям отклонений.</span></p>
</div>
</div>
<div class="vert vert-1" data-id="block-v1:fis+F05+1+type@html+block@0aca9b2fba594b43abf33cfcdf75f6c6">
<div class="xblock xblock-public_view xblock-public_view-html xmodule_display xmodule_HtmlBlock" data-course-id="course-v1:fis+F05+1" data-init="XBlockToXModuleShim" data-runtime-class="LmsRuntime" data-runtime-version="1" data-block-type="html" data-usage-id="block-v1:fis+F05+1+type@html+block@0aca9b2fba594b43abf33cfcdf75f6c6" data-request-token="b78c3384ff0511eea15e972eda219898" data-graded="False" data-has-score="False">
<script type="json/xblock-args" class="xblock-json-init-args">
{"xmodule-type": "HTMLModule"}
</script>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: georgia, palatino; color: #000000;">Пример:</span><o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: georgia, palatino; color: #000000;">Рассмотрим в числах предложенную задачу с падением шарика между этажами.</span><o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: georgia, palatino; color: #000000;"><img height="283" width="565" src="/assets/courseware/v1/1d92a41ce7e7d40ae1f337d024ed5d85/asset-v1:fis+F05+1+type@asset+block/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%BA%D0%B0_1.jpg" alt="" /></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: georgia, palatino; color: #000000;">Таким образом, средняя погрешность результата приближенно равна 0,04с. <span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Мы получили, что с вероятностью около 70% (коэффициент достоверности α = 0,7) результат нового аналогичного измерения времени падения шарика попадет в интервал от 1,39с до 1,47с.<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Это можно доказать, и если<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>интересно, то следует прочитать [1], [2], [5]. <span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Или, при сделанных 100 измерениях, 30 из них выпадут из этого интервала. Если же мы возьмем интервал с отклонением \(3\sigma_{x} \), то можно показать, что результат измерения с вероятностью 99% попадет в этот интервал (α = 0,99).</span><o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: georgia, palatino; color: #000000;">Среднеквадратичная погрешность среднего арифметического равна<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>0,013с, то есть окончательный результат<span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">t</span>=1,426±0,013с. Для правильности этого утверждения нужно сделать достаточно большое число попыток (не менее 10).</span><o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: georgia, palatino; color: #000000;">Казалось бы, чем больше сделано измерений, тем выше точность, но величина \(\sqrt {n} \) <span style="position: relative; top: 4.0pt; mso-text-raise: -4.0pt;"><v:shape id="_x0000_i1026" type="#_x0000_t75" style="width: 18.75pt; height: 18.75pt;" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/Users/1166~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.wmz" o:title=""></v:imagedata></v:shape></span><!-- [if gte mso 9]><xml>
<o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1026"
DrawAspect="Content" ObjectID="_1696317338">
</o:OLEObject>
</xml><![endif]-->с увеличением \(n \) растет незначительно. Поэтому, лучше все же не делать 1000 измерений, а<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>усовершенствовать точность метода измерения и аппаратуру.</span><o:p></o:p></p>
</div>
</div>
</div>
<script type="text/javascript">
(function (require) {
require(['/static/js/dateutil_factory.be68acdff619.js?raw'], function () {
require(['js/dateutil_factory'], function (DateUtilFactory) {
DateUtilFactory.transform('.localized-datetime');
});
});
}).call(this, require || RequireJS.require);
</script>
<script>
function emit_event(message) {
parent.postMessage(message, '*');
}
</script>
</div>